Montrer que : $$\forall m,n\in{\Bbb N},\quad0\lt \frac{mn}{n^2+m^2}\leqslant\frac12$$

L'inégalité \(0\lt \frac{mn}{n^2+m^2}\) est évident (on vient bien que c'est positif)

Pour montrer l'autre côté, se baser sur une identité remarquable

$$\begin{align}\frac{mn}{m^2+n^2}\leqslant\frac12&\iff mn\leqslant\frac12(m^2+n^2)\\ &\iff 2mn\leqslant m^2+n^2\\ &\iff m^2-2mn+n^2\geqslant0\\ &\iff(m-n)^2\geqslant0\end{align}$$
Un carré étant toujours positif, l'inégalité est vérifiée
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\square\)

(Fonction carré, Identité remarquable)